Sistem persamaan « Art of Mathematics

5 April 2008

Sistem persamaan

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:2008, AIME, bilangan asli, bilangan real, bilangan riil, kesamaan, maksimum, nilai, persamaan, positif, relatif prima, sistem, soal, solusi — Johan @ 19.56

[AIME 2008] Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan real positif dengan $a\ge b$ . Misalkan $\rho$ adalah nilai maksimum $\frac{a}{b}$ di mana sistem persamaan

$a^2+y^2=b^2+x^2=(a-x)^2+(b-y)^2$

memiliki solusi $(x,y)$ yang memenuhi $0\le x<a$ dan $0\le y<b$ . Maka $\rho^2$ dapat dinyatakan sebagai pecahan $\frac{m}{n}$ di mana $m$ dan $n$ adalah bilangan asli yang relatif prima. Tentukan $m+n$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$a^2+y^2=(a-x)^2+(b-y)^2\rightarrow a^2+y^2=a^2-2ax+x^2+b^2-2by+y^2\rightarrow b^2+x^2=2ax+2by$ .

Dengan cara yang sama, dengan memperhatikan ruas tengah dan ruas kanan, didapat $a^2+y^2=2ax+2by$ . Maka didapat

$a^2+y^2=b^2+x^2=2ax+2by$ .

Tetapi $2by\ge y^2$ , sehingga $2ax\le a^2$ . Ini menyebabkan $x\le \frac{a}{2}$ . Perhatikan bahwa $b^2+x^2=a^2+y^2\ge a^2$ . Maka $b^2\ge\frac34a^2$ . Terdapat solusi $(a,b,x,y)=(1,\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0)$ , di mana kesamaan $b^2\ge\frac34a^2$ terjadi. Jadi nilai maksimum $\rho^2$ adalah $\frac43$ . Maka $m+n=7$ .

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

	Cassanova di Ketaksamaan USAMO 2004
	Cassanova di √10+√17, √53
	Cassanova di √10+√17, √53
	Cassanova di Fungsi kuadrat dan fungsi…
	Cassanova di Fungsi kuadrat dan fungsi…

Art of Mathematics

5 April 2008

Sistem persamaan

Tidak ada Komentar »

Tinggalkan komentar

Majalah Zer0

Halaman

Kategori

Soal Random

Beri Komentar

Komentar

Disusun Oleh