Art of Mathematics

5 April 2008

Determinan matriks

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , , , — Johan @ 15.08

[Putnam 2004] Didefinisikan barisan \{u_n\}^{\infty}_{n=0} dengan u_0=u_1=u_2=0, dan

\det\left(\begin{array}{ccc}u_n & u_{n+1} \\ u_{n+2} & u_{n+3} \end{array} \right)=n!

untuk setiap n\ge0. Buktikan bahwa u_n adalah bilangan bulat untuk setiap n. (ditetapkan 0!=1.)

Solusi
Saya definisikan v_0=v_1=1, dan v_n=(n-1)v_{n-2} untuk setiap n\ge2. Maka v_n adalah bilangan bulat.

Lemma 1. v_nv_{n+1}=n! untuk setiap n\ge0.

Bukti
Untuk n=0, maka v_nv_{n+1}=1=n!, seperti yang didefinisikan. Jika n\ge1, asumsikan v_{n-1}v_n=(n-1)!. Menurut definisi, v_{n+1}=nv_{n-1}. Maka kedua ruas dikalikan dengan n, sehingga v_{n+1}v_n=n!. Maka induksi selesai dan lemma terbukti.

Lemma 2.v_n=u_n untuk setiap n\ge0.

Bukti
Untuk n=0, n=1, n=2, maka u_n=v_n=1, seperti yang didefinisikan. Jika n\ge1, asumsikan u_{n-3}=v_{n-3}, u_{n-2}=v_{n-2}, u_{n-1}=v_{n-1}. Dari definisi determinan pada soal, maka (n-3)!=u_{n-3}u_n-u_{n-1}u_{n-2}, maka

u_n=\dfrac{(n-3)!+u_{n-1}u_{n-2}}{u_{n-3}}= \dfrac{(n-3)!+(n-2)v_{n-3}v_{n-2}}{v_{n-3}}=\dfrac{v_{n-3}v_{n-2}+(n-2)v_{n-3}v_{n-2}}{v_{n-3}}=(n-1)v_{n-2}=v_n.

Jadi u_n=v_n untuk setiap n\ge0. Tetapi, karena v_n selalu bilangan asli untuk n\ge0, maka u_n juga selalu bilangan asli untuk setiap n\ge0.

6 Komentar »

  1. em aku minta yang lengkap full versi yah buat pdf nya yang file determinan aku tunggu

    Komentar oleh aang alif anshori — 3 Juni 2008 @ 14.07

    Balas

  2. q minta contoh soal determinan en penjelasannya cepat please

    Komentar oleh rino — 13 Nopember 2008 @ 20.42

    Balas

  3. woiiiiii aq butuh soal aljabar linier & matriks yang mantappppppppppppppp………………..

    Komentar oleh aq — 20 Nopember 2008 @ 19.05

    Balas

  4. kalo untuk matriks 4×4 pake cara apa??

    plis donk jawabannya,,,
    makasih

    Komentar oleh syasya — 23 Februari 2009 @ 21.03

    Balas

  5. defenisi determinan secar lengkap

    Komentar oleh cipta riang sari, S.Kom — 2 Mei 2009 @ 13.46

    Balas

  6. @syasya kalo cari determinan ordo 4×4, gunakan persyaratan determinan aja. contohnya jadikan matriknya matrik segitiga bawah dengan mengunakan Operasi Baris Elementer atau Operasi kolom Elementer sehingga hanya mengalikan diagonal utamanya.

    Komentar oleh Miftah — 12 Juni 2009 @ 22.55

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.