Angka pertamanya adalah 9 « Art of Mathematics

24 Maret 2008

Angka pertamanya adalah 9

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:1990, AIME, anggota, angka, banyak angka, digit, elemen, himpunan, kejadian, Matematika, olimpiade, pertama, sisa, Teori Bilangan — Johan @ 8.48

[AIME 1990] Misalkan $T = \{9^k : k \ \text{adalah bilangan asli}, 0 \le k \le 4000\}$ . Diberikan $9^{4000}$ terdiri dari 3817 angka dan angka pertamanya (paling kiri) adalah 9, berapa banyak anggota dari $T$ yang memiliki 9 sebagai angka pertamanya?

Solusi
Jika $9^n$ memiliki angka pertama 9, maka pasti $9^{n-1}$ memiliki angka pertama 1 dan banyak angkanya sama dengan banyak angka pada $9^n$ . Jadi jika $9^n$ tidak memiliki angka pertama 9, banyak digitnya tidak sama dengan banyak digit pada $9^{n-1}$ . Karena $9^{4000}$ memiliki 3816 angka lebih banyak daripada $9^1$ , maka terdapat 3816 kejadian di mana angka pertama $9^n$ bukan 9. Maka sisanya memiliki angka pertama 9, yaitu $4000-3816=184$ .

Komentar (9)

9 Komentar »

wah saya suka angka 9

Komentar oleh hanggadamai — 24 Maret 2008 @ 11.27

Balas
Katanya angka 9 bawa hoki ya. Hemm…tapi aku tetep suka sama angka 7

Komentar oleh sarah — 25 Maret 2008 @ 9.33

Balas
hahahah, tolong di ralat tuh, masa 4000 – 3186 = 184?

Komentar oleh Erwin — 26 Maret 2008 @ 16.17

Balas
@Erwin: Thanks. Sudah diedit.

Komentar oleh Johan — 26 Maret 2008 @ 16.50

Balas
solusi saya : 9^k memiliki 4001 kejadian. sedangkan pada 9^4000, terdapat 3817 digit, di mana 4000 merupakan bilangan maksimal dari k, sedangkan untuk setiap digit terdapat 1 kejadian di mana 9^k bilangan pertamanya bukan 9, sesuai dengan teori anda di atas ada 3817 kejadian, karena di setiap digit pasti terdapat tepat 1 kejadian di mana bilangan 9^n bukan berawalan angka 9. jadi yg memiliki angka pertama 9 pada 9^k ada = 4001 – 3817 = 184. terima kasih. Maaf saya sering salah memahami soal.

Komentar oleh Erwin — 28 Maret 2008 @ 19.19

Balas
@Erwin: Ga perlu minta maaf, justru saya yang terima kasih. Kalau Anda salah memahami soal, artinya saya yang kurang baik menjelaskannya.

Komentar oleh Johan — 28 Maret 2008 @ 19.21

Balas
kayak ada yang aneh deh???
masa langsung dikurangi antara 4000-3186 trus bagaimana dapatnya 3186 itu???

Komentar oleh wawan — 1 April 2008 @ 18.25

Balas
@wawan: Coba baca ulang dengan teliti dan sabar. 3816 didapat dari perbedaan digit antara $9^{4000}$ dan $9^0$ .

Komentar oleh Johan — 1 April 2008 @ 18.33

Balas
wah bingung euy bacanya

mungkin perlu berulang-ulangduku saya pikirkan.

salam kenal buat penulis. bagus banget tulisannya

Komentar oleh raja simarmata — 8 April 2008 @ 19.54

Balas