Art of Mathematics

23 Maret 2008

Titik dalam segitiga

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:, , , , , , , , , , , , — Johan @ 22.08

[China Mathematical Competition 2004] Misalkan \text{O} adalah titik di dalam \triangle\text{ABC} sehingga \overrightarrow{\text{OA}}+2\overrightarrow{\text{OB}}+3\overrightarrow{\text{OC}}=0. Tentukan rasio luas \triangle\text{ABC} terhadap \triangle\text{AOC}.

Solusi
Misalkan \text{D} dan \text{E} adalah titik tengah dari sisi \text{AC} dan \text{BC}, berturut-turut. Perhatikan gambar berikut.

titik dalam segitiga

Maka

\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OC}}=2\overrightarrow{\text{OD}},

dan

2(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}})=4\overrightarrow{\text{OE}}.

Jumlah kedua persamaan di atas adalah

\overrightarrow{\text{OA}}+2\overrightarrow{\text{OB}}+3\overrightarrow{\text{OC}}=2(\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}})=0.

Jadi \overrightarrow{\text{OD}} dan \overrightarrow{\text{OE}} kolinear, dan |\overrightarrow{\text{OD}}|=2|\overrightarrow{\text{OE}}|. Jadi

\dfrac{\text{L}_{\triangle\text{AEC}}}{\text{L}_{\triangle\text{AOC}}}=\dfrac32

dan

\dfrac{\text{L}_{\triangle\text{ABC}}}{\text{L}_{\triangle\text{AOC}}}=3.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.