Pertidaksamaan tiga bilangan berhasil kali lebih atau sama dengan 1

23 Maret 2008

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:2005, boreico, IMO, iurie, Pertidaksamaan — Johan @ 8.02

[IMO 2005] Jika $x$ , $y$ , $z$ adalah tiga bilangan real sehingga $xyz\ge1$ , buktikan bahwa

$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\dfrac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\ge0$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}-\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}=\dfrac{x^2(x^3-1)^2(y^2+z^2)}{x^3(x^5+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge0$ .

Maka

$\displaystyle\sum\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\sum\dfrac{x^5-x^2}{x^3(x^2+y^2+z^2)}$ .

Ruas kanan menjadi

$\displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\sum\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right) \ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\sum(x^2-yz)\ge0$ .

Catatan: Boreico Iurie mendapatkan hadiah khusus karena solusi ini.

Komentar (1)

	marvell di Fungsi hasil kali bilangan…
	roro di Sifat pada segitiga siku-siku …
	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About