Angka ke-1000 di belakang koma « Art of Mathematics

20 Maret 2008

[Putnam 1998] Jika $N=111\ldots1$ terdiri dari 1998 angka satu, tentukan digit keseribu di belakang koma dari $\sqrt{N}$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$N=\dfrac{999\ldots9}{9}=\dfrac{10^{1998}-1}{9}$ .

Digit keseribu di belakang koma dari $\sqrt{N}$ sama dengan satuan dari

$10^{1000}\sqrt{N}=10^{1000}\sqrt{\dfrac{10^{1998}-1}{9}}=\dfrac{\sqrt{10^{3998}-10^{2000}}}{3}$ .

Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa

$(10^{1999}-7)^2<10^{3998}-10^{2000}<(10^{1999}-4)^2$ .

Maka

$\dfrac{10^{1999}-7}{3}<10^{1000}\sqrt{N}<\dfrac{10^{1999}-4}{3}$ ,

dan

$333\ldots31<10^{1000}\sqrt{N}<333\ldots32$

Maka satuan dari $10^{1000}\sqrt{N}$ adalah 1. Jadi, digit keseribu di belakang koma dari $\sqrt{N}$ adalah 1.

Belum ada komentar.

	Cassanova di Ketaksamaan USAMO 2004
	Cassanova di √10+√17, √53
	Cassanova di √10+√17, √53
	Cassanova di Fungsi kuadrat dan fungsi…
	Cassanova di Fungsi kuadrat dan fungsi…