Art of Mathematics

14 Maret 2008

Pertidaksamaan

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , — Johan @ 19.02

[Mathematical Olympiad Treasures] Buktikan bahwa \displaystyle\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^3}\right)<3, untuk bilangan asli n.

Solusi
Saya akan buktikan dengan induksi, tapi ruas kiri selalu tetap, sehingga harus diubah dahulu. Pertidaksamaan dapat diperkuat menjadi

\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{n^3}\right)\le3-\dfrac1n.

Jelas bahwa ini benar untuk n=1. Asumsikan ini benar untuk n=k, sehingga

\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{1^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{3^3}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{k^3}\right)\le3-\dfrac1k.

Kalikan kedua ruas dengan

\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{(k+1)^3}\right).

Ruas kanan menjadi

\displaystyle\left(3-\dfrac1k\right)\left(1+\dfrac{1}{(k+1)^3}\right).

Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa

\displaystyle\left(3-\dfrac1k\right)\left(1+\dfrac{1}{(k+1)^3}\right)<\left(3-\dfrac{1}{k+1}\right).

Maka terbukti.

3 Tanggapan »

  1. Wow…. sungguh menarik…

    Komentar oleh Jack — 14 Maret 2008 @ 22.13

  2. kalau dilihat dari soalnya, penjumlahan sampai suku ketiga saja sudah lebih dari 3 ya kan? menurut saya perlu diralat kalau soal di atas itu bukan penjumlahan suku melainkan perkalian suku

    Komentar oleh Erwin — 18 Maret 2008 @ 15.07

  3. Terima kasih Erwin. Akan segera diralat.

    Komentar oleh Johan — 18 Maret 2008 @ 15.28

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.