Akar polinomial « Art of Mathematics

14 Maret 2008

[Mathematical Olympiad Treasures] Tentukan akar-akar real dari polinomial

$P_n(X)=1+\dfrac{X}{1!}+\dfrac{X(X+1)}{2!}+\cdots+\dfrac{X(X+1)(X+2)\ldots(X+n-1)}{n!}$ .

Solusi
Jika $n=1$ , maka $P_1(X)=1+X$ memiliki akar real -1. Jika $n=2$ , maka $P_2(X)=\frac12(X+2)(X+1)$ memiliki akar real -1 dan -2.

Maka kita dapat berhipotesis bahwa $P_k(X)$ memiliki akar real -1, -2, $\ldots$ , $-k$ , untuk suatu bilangan asli $k$ . Jadi dapat dimisalkan

$P_k(x)=c(X+1)(X+2)(X+3)\ldots(X+k)$ ,

dengan $c$ suatu konstanta. Tetapi $c$ adalah koefisien dari $X^k$ , sehingga $c=\frac{1}{k!}$ .

Perhatikan bahwa

$P_{k+1}(X)=\dfrac{1}{k!}(X+1)(X+2)(X+3)\ldots(X+k)+\dfrac{X(X+1)(X+2)\ldots(X+k)}{(k+1)!}$ .

Sederhanakan dengan menyamakan penyebut, maka

$P_{k+1}(X)=\dfrac{1}{(k+1)!}(X+1)(X+2)(X+3)\ldots(X+k+1)$

Jadi akar-akarnya adalah -1, -2, $\ldots$ , $-k-1$ . Maka langkah induksi selesai. Jadi $P_n(X)$ memiliki akar real -1, -2, $\ldots$ , $-n$ .

Belum ada komentar.

	ufi di Akar-akar kuadrat
	edy prabowo di Majalah Zer0
	Johan di Akar-akar kuadrat
	naning Tuban di Akar-akar kuadrat
	Johan di Polinomial