Pertidaksamaan tiga bilangan berhasil kali 1

7 Maret 2008

[Olimpiade.org] Jika $abc=1$ , untuk $a$ , $b$ , $c$ bilangan real positif, dan $n$ bilangan asli, buktikan

$\dfrac{1}{a^n+b^n+1}+\dfrac{1}{b^n+c^n+1}+\dfrac{1}{c^n+a^n+1}\le1$ .

Solusi
Misalkan $x=a^{n/3}$ , $y=b^{n/3}$ , dan $z=c^{n/3}$ , sehingga $xyz=1$ . Ruas kiri pada pertidaksamaan di atas adalah

$\displaystyle\sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}$ .

Karena $1=xyz$ , maka bentuk itu menjadi

$\displaystyle\sum\dfrac{xyz}{x^3+y^3+xyz}\le\sum\dfrac{xyz}{xy(x+y)+xyz}$ .

Pada ruas kanan, bagi pembilang dan penyebut dengan $xy$ , sehingga menjadi

$\displaystyle\sum\dfrac{z}{x+y+z}=1$ .

Belum ada komentar.

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb