Pertidaksamaan « Art of Mathematics

7 Maret 2008

[Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika] Jika $a$ , $b$ , $c$ adalah tiga bilangan positif yang berbeda, buktikan

$(bc+ca+ab)^2>3abc(a+b+c)$ .

Solusi
Misalkan $bc=x$ , $ca=y$ , $ab=z$ . Maka ruas kiri menjadi $(x+y+z)^2$ . Ruas kanan menjadi

$3a^2bc+3ab^2c+3abc^2=3(xy+yz+zx)$ .

Maka harus dibuktikan

$(x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)$ ,

yang ekivalen dengan

$x^2+y^2+z^2>xy+yz+x$ .

Dengan AM-GM,

$(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(z^2+x^2)>2xy+2yz+2zx$ .

Maka

$2(x^2+y^2+z^2)>2(xy+yz+zx)$ .

Bagi dengan 2, sehingga terbukti.

Komentar (1)

	marvell di Fungsi hasil kali bilangan…
	roro di Sifat pada segitiga siku-siku …
	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About