Pasangan bilangan bulat menjadi bilangan segitiga

6 Maret 2008

Pasangan bilangan bulat menjadi bilangan segitiga

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:bilangan, bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan ganjil, bilangan kuadrat, bilangan segitiga, bukti, iff, jika dan hanya jika, pasangan — Johan @ 17.30

[Putnam 1988] Buktikan bahwa terdapat tak terhingga banyaknya pasangan bilangan bulat $(a,b)$ sehingga $at+b$ adalah bilangan segitiga jika dan hanya jika $t$ adalah bilangan segitiga. (Bilangan segitiga adalah $t_n=n(n+1)/2$ untuk $n$ bilangan cacah).

Solusi
Perhatikan bahwa

$t=\dfrac{n(n+1)}{2}\Leftrightarrow8t+1=(2n+1)^2$ .

Maka, kita mulai dari menetapkan suatu $t$ bilangan segitiga. Maka $8t+1$ adalah bilangan kuadrat. Misalkan $k$ suatu bilangan ganjil sehingga $k^2(8t+1)$ juga bilangan kuadrat. Bentuk itu dapat diubah menjadi $8(k^2t+\frac{k^2-1}{8})+1$ . Maka $k^2t+\frac{k^2-1}{8}$ adalah bilangan segitiga. Tetapi $k^2$ dan $\frac{k^2-1}{8}$ adalah dua bilangan bulat (karena $k$ bilangan ganjil). Maka pasangan $(a,b)$ adalah $(k^2,k^2t+\frac{k^2-1}{8})$ untuk bilangan ganjil $k$ .