Digit paling kanan bukan nol dari satu juta faktorial

4 Maret 2008

Digit paling kanan bukan nol dari satu juta faktorial

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:angka, bukan nol, digit, faktorial, kanan, nonzero, pangkat, terakhir — Johan @ 13.20

[Which Way did the Bicycle Go?] Tentukan digit paling kanan yang bukan nol dari $1000000!$ .

Solusi
Misalkan $m$ dan $n$ ekuivalen ( $\approx$ ) jika digit paling kanannya yang bukan nol sama. Contohnya $12\approx2$ .

Lemma. $(5n)!\approx2^nn!$

Bukti:

$(5n)!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\ldots(5n-1)\cdot(5n)$

$\approx(1\cdot1\cdot3\cdot4\cdot10)(3\cdot7\cdot8\cdot9\cdot20)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1)10n\right)$

$=(1\cdot1\cdot3\cdot4)(3\cdot7\cdot8\cdot9)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1))\right)(10\cdot20\ldots10n)$

$\approx(1\cdot1\cdot3\cdot4)(3\cdot7\cdot8\cdot9)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1))\right)(1\cdot2\ldots n)$

Setiap kelompok kecuali yang terakhir angka terakhirnya adalah 2, karena setiap kelompok memiliki suku-suku yang angka terakhirnya 1, 2, 3, 4 atau 6, 7, 8, 9, kemudian dibagi 2. Maka menjadi:

$(5n)!\approx2\cdot2\cdot2\cdot2\ldots2\cdot n!=2^nn!$

Lemma terbukti. Kita dapat menggunakan ini untuk menyederhanakan $1000000!$ seperti berikut:

$1000000!\approx2^{200000}200000!$

$\approx2^{200000}2^{40000}40000!$

$\approx2^{200000}2^{40000}2^{8000}8000!$

$\approx2^{200000}2^{40000}2^{8000}2^{1600}1600!$

$\approx2^{200000}2^{40000}2^{8000}2^{1600}2^{320}320!$

$\approx2^{200000}2^{40000}2^{8000}2^{1600}2^{320}2^{64}64!$

$\approx2^{249984}64!$

$\approx2^{249984}60!\cdot61\cdot62\cdot63\cdot64$

$\approx2^{249984}2^{12}12!\cdot4$

$\approx2^{249996}10!\cdot11\cdot12\cdot4$

$\approx6\cdot2^2\cdot2!\cdot8$ (karena pangkat dari 16 selalu berakhiran 6)

$\approx6\cdot4\cdot2\cdot8$

$\approx4$

Maka, angka terakhir bukan nolnya adalah 4.

& Komentar »

kalo 1×2x3×4 kan angka terakhirnya bukan 2

Komentar oleh ????? — 4 Maret 2008 @ 16.24
Mohon maaf, ada kesalahan. Akan segera diperbaiki.

Komentar oleh Johan — 4 Maret 2008 @ 16.25
Gila.. Keren banget…

Komentar oleh Ivan Wangsa C.L. — 4 Maret 2008 @ 19.37
Han, ada yang kepotong tuh.

Komentar oleh Ivan Wangsa C.L. — 4 Maret 2008 @ 19.38
Bagian mana yang kepotong?

Komentar oleh Johan — 4 Maret 2008 @ 20.01
Ada, yang :
Bukti:

(5n)!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\ldots(5n-1)\cdot(5n)

\approx(1\cdot1\cdot3\cdot4\cdot10)(3\cdot7\cdot8\cdot9\cdot20)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1)10n\right)

=(1\cdot1\cdot3\cdot4)(3\cdot7\cdot8\cdot9)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1))(10\cdot20\ldots10n\right)

\approx(1\cdot1\cdot3\cdot4)(3\cdot7\cdot8\cdot9)\ldots\displaystyle\left(\dfrac12(5n-4)(5n-3)(5n-2)(5n-1))(1\cdot2\ldots n\right)

Setiap kelompok kecuali yang terakhir angka terakhirnya adalah 2, ka
Itu ada yang kepotong, bukti lemma.

Komentar oleh Ivan Wangsa C.L. — 4 Maret 2008 @ 22.28
gileeeeeeeeeeee.goikil abizzzzzzzzzzz

Komentar oleh mr.m — 5 Maret 2008 @ 14.25