Art of Mathematics

3 Maret 2008

Pertidaksamaan

Diarsipkan di bawah: Pertidaksamaan — Tag:, , , , , — Johan @ 16.23

[IMO 2001] Buktikan \dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1 untuk a, b, c bilangan positif real.

Solusi
Kita akan buktikan

\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\dfrac{a^{\frac43}}{a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}}.

Pertidaksamaan ini ekivalen dengan

\displaystyle\left(a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}\right)^2\ge a^{\frac23}\left(a^2+8bc\right).

Mulai dari

\displaystyle\left(a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}\right)^2-\displaystyle\left(a^{\frac43}\right)^2=\displaystyle\left(b^{\frac43}+c^{\frac43}\right)\displaystyle\left(a^{\frac43}+a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}\right).

Dari AM-GM, ruas kanan

\ge2b^{\frac23}c^{\frac23}\cdot4a^{\frac23}b^{\frac13}c^{\frac13}=8a^{\frac23}bc.

Maka

\displaystyle\left(a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}\right)^2\ge\displaystyle\left(a^{\frac43}\right)^2+8a^{\frac23}bc

Jadi,

\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\ge\dfrac{a^{\frac43}}{a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}}.

Dengan cara yang sama

\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}\ge\dfrac{b^{\frac43}}{a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}},

\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{c^{\frac43}}{a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^{\frac43}}

Jumlahkan ketiganya, maka

\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.