Akar-akar polinomial berderajat 20

1 Maret 2008

Akar-akar polinomial berderajat 20

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:akar, derajat, jumlah, kuadrat, kuadrat jumlah, polinomial, real — Johan @ 21.21

[MIMC - AoPS] Tentukan jumlah kuadrat semua akar real dari $x^{20}-x^{18}-x^{16}-\ldots-x^2-2$ ?

Solusi
Misalkan $a=x^2$ .

$a^{10}-a^9-a^8-\ldots-a-2=0$

$a^{10}-1=a^9+a^8+a^7+\ldots+1$

$a^{10}-1=\dfrac{a^{10}-1}{a-1}$

Karena $a^{10}-1=0$ menyebabkan $x=1$ yang tidak memenuhi, maka $a-1=1$ atau $a=2$ . Jadi $x=\pm\sqrt2$ . Jumlah kuadratnya adalah $(\sqrt2)^2+(-\sqrt2)^2=4$ .

Komentar (5)

5 Komentar »

Jumlah kuadrat $\neq$ Kuadrat jumlah

Komentar oleh mathematicse — 2 Maret 2008 @ 21.15

Balas
Maaf, komen sebelumnya hanya sedikit koreksi dari segi bahasa saja. ~~Anggap ga terlalu penting!~~

Anyway, bagus soal-soalnya… saya bisa belajar dari sini.

Komentar oleh mathematicse — 2 Maret 2008 @ 21.17

Balas
masalahnya ada ga akar real lain???bukti?
klo di cek lewat maple memang cuma ±sqrt(2)

Komentar oleh glubot — 6 Maret 2008 @ 13.34

Balas
Ga ada, seperti yang tadi saya tulis. Lihat baris keempat: $a^{10}-1=\dfrac{a^{10}-1}{a-1}$ .

Dari sini, maka ada dua kemungkinan $a^{10}-1=0$ atau $a=1$ . Setelah itu lanjutkan analisa seperti yang saya tulis di atas.

Komentar oleh Johan — 6 Maret 2008 @ 14.21

Balas
@mathematicse: Thanks. Ada typo.

Komentar oleh Johan — 23 Maret 2008 @ 16.45

Balas