Persamaan diophantine « Art of Mathematics

27 Februari 2008

Persamaan diophantine

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:bilangan bulat, diophantine, IMO, kubik, modular, modulo, pangkat tiga, persamaan, proposal, Romania, solusi, Teori Bilangan — Johan @ 17.40

[Proposal Romania untuk IMO] Buktikan bahwa persamaan $x^3+y^3+z^3=1969^2$ tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Solusi
Setiap bilangan bulat dapat ditulis $0\pmod{9}$ , $1\pmod{9}$ , $2\pmod{9}$ , $\ldots$ , $8\pmod{9}$ . Pangkat tiganya adalah $0\pmod{9}$ , $1\pmod{9}$ , $-1\pmod{9}$ . Maka $x^3$ , $y^3$ , $z^3$ masing-masing hanya bisa dinyatakan sebagai $0\pmod{9}$ , $1\pmod{9}$ , $-1\pmod{9}$ . Jadi $x^3+y^3+z^3$ yang mungkin adalah $-3\pmod{9}$ , $-2\pmod{9}$ , $-1\pmod{9}$ , $0\pmod{9}$ , $1\pmod{9}$ , $2\pmod{9}$ , $3\pmod{9}$ . Padahal $1969^2\equiv4\pmod{9}$ . Maka tidak ada solusi yang mungkin.