Art of Mathematics

23 Februari 2008

Akar polinomial kubik

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , — Johan @ 20.36

[wu :: forums] Tentukan polinomial berderajat tiga dengan akar bukan nol a, b, c, sehingga (a,b,c) adalah permutasi dari (ab+c,bc+a,ca+b).

Solusi
Misalkan polinomial itu (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-sx^2+tx-p, sehingga s=a+b+c, t=ab+bc+ca, dan p=abc.

Karena a+b+c=(ab+c)+(bc+a)+(ca+b), maka s=t+s dan t=0.

Kemudian perhatikan bahwa

ab+bc+ca=(ab+c)(bc+a)+(bc+a)(ca+b)+(ca+b)(ab+c).

Maka

t=(ab^2c+bc^2+a^2b+ca)+(abc^2+a^2c+b^2c+a^2c+ab)+(a^2bc+ab^2+ac^2+bc).

Dengan beberapa substitusi dan penyederhanaan, didapat

t=ps+st-3p+t.

Karena t=0, maka

0=ps-3p=p(s-3).

Tetapi p=abc\ne0, sehingga s=3.

p=abc=(ab+c)(bc+a)(ca+b)=p^2+p(s^2-2t)+(t^2-2sp)+p. Selesaikan sehingga p=-3.

Maka polinomial itu adalah x^3+3x^2-3.

2 Tanggapan »

  1. ah nilai matem gw dapet D euy, jadi ah sudahlah

    Komentar oleh abahoryza — 24 Februari 2008 @ 7.41

  2. Gua mau tanya lo bisa ga nyelesaiin persamaan ini n nentuin inversnya,

    F(X)= aX^3+bX^2+cX+d ?
    Hubungi gua ok jika lo udah nemu or belom nemu!karena gua tau inversnya ok.(hubungi gua lewat e-mail gua ok “integral_sondi@yahoo.com”)

    Komentar oleh ss alcent bandung — 7 September 2008 @ 8.21

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.