Pertidaksamaan bilangan real positif

16 Februari 2008

[Crux Mathematicorum] Jika $a$ , $b$ , $c$ adalah bilangan real positif sehingga $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2$ , buktikan

$\dfrac{1}{4a+1}+\dfrac{1}{4b+1}+\dfrac{1}{4c+1}\ge1$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$(2x-1)^2\ge0$ ,

$4x^2-4x+1\ge0$ ,

$3x+3\ge(2-x)(4x+1)$ ,

$\dfrac{1}{4x+1}\ge\dfrac{2-x}{3(x+1)}$

$\dfrac{1}{4x+1}\ge\dfrac{1}{x+1}-\dfrac13$ .

Substitusikan nilai $x$ dengan $a$ , $b$ , $c$ , kemudian jumlahkan, sehingga

$\dfrac{1}{4a+1}+\dfrac{1}{4b+1}+\dfrac{1}{4c+1}\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}-1=1$ .

Belum ada komentar.

	ufi di Akar-akar kuadrat
	edy prabowo di Majalah Zer0
	Johan di Akar-akar kuadrat
	naning Tuban di Akar-akar kuadrat
	Johan di Polinomial