Art of Mathematics

9 Februari 2008

Diagonal tegak lurus

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:, , , , , , , , , — Johan @ 6.42

[Belanda 1998] \text{ABCD} adalah segi empat konveks sehingga \text{AC}\perp\text{BD}.

(a) Buktikan \text{AB}^2+\text{CD}^2=\text{BC}^2+\text{AD}^2.

(b) \text{PQRS} adalah segi empat konveks sehingga \text{PQ}=\text{AB}, \text{QR}=\text{BC}, \text{RS}=\text{CD}, dan \text{SP}=\text{DA}. Buktikan \text{PR}\perp\text{QS}.

Solusi
(a) Misalkan \text{AC} dan \text{BD} berpotongan di \text{O}.

\text{AB}^2+\text{CD}^2=\text{OA}^2+\text{OB}^2+\text{OC}^2+\text{OD}^2=\text{BC}^2+\text{AD}^2.

(b) Substitusikan nilai \text{PQ}=\text{AB}, \text{QR}=\text{BC}, \text{RS}=\text{CD}, dan \text{SP}=\text{DA} ke persamaan yang telah dibuktikan (a). Maka \text{PQ}^2+\text{RS}^2=\text{QR}^2+\text{SP}^2.

Misalkan \text{PR} dan \text{QS} berpotongan di \text{M}. Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan \angle \text{PMQ}=\angle \text{RMQ}\ge90^\circ dan \angle \text{RMQ}=\angle \text{PMS}\le90^\circ.

Maka

\text{PQ}^2\ge \text{PM}^2+\text{MQ}^2,

\text{RS}^2\ge\text{MS}^2+\text{MR}^2,

\text{QR}^2\le \text{MQ}^2+\text{MR}^2,

\text{PS}^2\le \text{PM}^2+\text{MS}^2.

Jadi

\text{PQ}^2+\text{RS}^2\ge \text{PM}^2+\text{MQ}^2+\text{MS}^2+\text{MR}^2\ge \text{QR}^2+\text{PS}^2.

Tetapi persamaan memenuhi, sehingga

\angle \text{PMQ}=\angle \text{QMR}=\angle\text{SMR}=\angle \text{SMP}=90^\circ.

& Komentar »

  1. segi empat konveks itu apa?

    Komentar oleh aldo — 24 Maret 2008 @ 14.44

  2. @aldo: Segiempat konveks artinya setiap sudutnya kurang dari 180 derajat.

    Komentar oleh Johan — 24 Maret 2008 @ 15.02

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.