Rata-rata tanpa empat bilangan genap

8 Februari 2008

Rata-rata tanpa empat bilangan genap

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:bilangan, bilangan genap, jumlah, kali silang, prima, rata-rata, relatif prima, statistika, Teori Bilangan — Johan @ 22.37

[In Polya's Footsteps] Empat bilangan genap berurutan dibuang dari himpunan $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ . Jika rata-rata dari bilangan yang tersisa adalah $51,5625$ , empat bilangan manakah yang dibuang?

Solusi
Misalkan $S$ adalah jumlah dari bilangan-bilangan yang tersisa. Maka $S/(n-4)=51,5625=825/16$ , atau $16S=825(n-4)$ . Karena 16 dan 825 relatif prima, maka $n-4$ habis dibagi 16, dan dapat dimisalkan $n=16t+4$ , untuk suatu bilangan asli $t$ ( $t\ne0$ karena $n\ge8$ karena terdapat 4 bilangan genap).

Jumlah bilangan pada $A$ adalah $\frac12n(n+1)$ , sehingga rata-ratanya $\frac12(n+1)$ . Setelah empat bilangan dibuang, rata-ratanya kemungkinan berubah, tetapi mungkin tidak banyak. Maka dapat diasumsikan $\frac12(n+1)$ tidak jauh dari 51,5625, sehingga $n$ tidak jauh dari 103,125. Karena nilai $16t+4$ yang dekat dengan 103,125 adalah 84, 100, dan 116, dapat kita periksa satu-persatu.
(i) $n=84$ . Nilai maksimum dari $S$ adalah jika bilangan yang dibuang adalah 2, 4, 6, 8, yaitu