Tiga angka terakhir dari pangkat bilangan

7 Februari 2008

Tiga angka terakhir dari pangkat bilangan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:berakhiran, bilangan asli, Kombinatorik, pangkat, Pigeonhole Principle, prinsip rumah burung, relatif prima, Teori Bilangan — Johan @ 17.33

[Easy as $\pi$ ?] Buktikan bahwa terdapat suatu bilangan asli $n$ sehingga $29^n$ berakhiran dengan $001$ .

Solusi
Karena terdapat 1000 angka dari $000$ sampai $999$ , maka di antara $29^1$ , $29^2$ , $29^3$ , $\ldots$ , $29^{1001}$ terdapat dua bilangan yang tiga angka terakhirnya berbeda (dari prinsip rumah burung). Maka misalkan $29^k$ dan $29^l$ berakhiran dengan tiga angka yang sama, di mana $k>l$ .

Maka $29^k-29^l$ habis dibagi 1000. Tetapi $29^k-29^l=29^l(29^{k-l}-1)$ harus habis dibagi 1000, sedangkan $29^l$ tidak mungkin habis dibagi 1000, karena 29 dan 1000 relatif prima. Maka $29^{k-l}-1$ habis dibagi 1000, dan berakhiran dengan $000$ . Maka $29^{k-l}$ berakhiran dengan $001$ . Terbukti.