Art of Mathematics

7 Februari 2008

Tiga angka terakhir dari pangkat bilangan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:, , , , , , , — Johan @ 17.33

[Easy as \pi?] Buktikan bahwa terdapat suatu bilangan asli n sehingga 29^n berakhiran dengan 001.

Solusi
Karena terdapat 1000 angka dari 000 sampai 999, maka di antara 29^1, 29^2, 29^3, \ldots, 29^{1001} terdapat dua bilangan yang tiga angka terakhirnya berbeda (dari prinsip rumah burung). Maka misalkan 29^k dan 29^l berakhiran dengan tiga angka yang sama, di mana k>l.

Maka 29^k-29^l habis dibagi 1000. Tetapi 29^k-29^l=29^l(29^{k-l}-1) harus habis dibagi 1000, sedangkan 29^l tidak mungkin habis dibagi 1000, karena 29 dan 1000 relatif prima. Maka 29^{k-l}-1 habis dibagi 1000, dan berakhiran dengan 000. Maka 29^{k-l} berakhiran dengan 001. Terbukti.

& Komentar »

  1. tambah bingung aja….

    Komentar oleh syukur gulo — 10 Oktober 2008 @ 9.33

    Balas

  2. terdapat dua bilangan yang tiga angka terakhirnya berbeda (dari prinsip rumah burung). Mzksudnya apa sih ? tlg yah…. ?

    Komentar oleh syukur gulo — 10 Oktober 2008 @ 9.37

    Balas

  3. Prinsip Rumah Burung (Pigeon Hole Principle) adalah “Jika terdapat lebih dari n barang yang didistribusikan ke dalam n buah kotak, maka sedikitnya satu kotak akan menerima lebih dari satu barang”.
    Contoh, kalau kita punya 5 surat. Terus ada 4 kotak. Terus kita masukin surat itu ke dalam 4 kotak itu. Pasti ada kotak yang berisi lebih dari 1 surat.

    Komentar oleh Novri Suhermi — 5 Juni 2009 @ 9.52

    Balas

  4. Harus dibuktikan juga bahwa 29^(k-l) merupakan bilangan > 1001

    Komentar oleh Eddy — 20 Juni 2009 @ 5.54

    Balas

  5. Berarti 29^n=1 (mod 1000) dan 29^n= (mod 100) dan 29^n=1 (mod 10).
    Karena FPB(29,1000)=FPB(29,100)=FPB(29,10)=1 maka sesuai dengan teorema Euler bahwa maka ada p,q,r bulat sehingga
    29^p=1(mod 1000),29^q=1(mod 100),29^r=1(mod 10).
    Jika m=KPK(p,q,r), maka 29^m=….001.

    Komentar oleh raharja — 24 Juni 2009 @ 1.45

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.