Pertidaksamaan n pecahan « Art of Mathematics

7 Februari 2008

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:akar, jumlah, Matematika, pangkat, Pertidaksamaan, telescoping — Johan @ 10.15

[olimpiade.org] Buktikan

$1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{4^2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}>3(\sqrt[3]{n+1}-1)$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$x-y=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]y)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})$ .

Substitusikan $x=k+1$ dan $y=k$ , maka

$1=(\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]k)(\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{k^2})$ .

Tetapi

$(\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{k^2})>3\sqrt[3]{k^2}$ .

Maka

$(\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k})=\displaystyle\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{k^2}}\right)<\dfrac{1}{3\sqrt[3]{k^2}}$ .

Jadi

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{k^2}}>3(\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k})$ .

Maka

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{1^2}}>3(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1})$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}}>3(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}>3(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{4^2}}>3(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4})$

$\ldots$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}>3(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})$

Jumlahkan semuanya menjadi

$1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{4^2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}>3(\sqrt[3]{n+1}-1)$ .

Komentar (6)

gg ngertii

Komentar oleh gag ngrrt — 29 Oktober 2008 @ 11.44

Balas
BINGUNG

Komentar oleh dea — 3 Februari 2009 @ 15.04

Balas
ribbett

Komentar oleh harianto — 4 Februari 2009 @ 13.56

Balas
emang sich,,kalo dilihat sekilas emang gak ngerti…
Tapi..Kalo dipelajari pasti bisa..
yg penting, tetep harus rajin belajar..Ok,,

Komentar oleh vera — 26 Maret 2009 @ 7.50

Balas
gak ada yg lebih gampang di mengerti yaa ?

Komentar oleh ndy — 6 Oktober 2009 @ 12.07

Balas
gampang banget. .

Komentar oleh santi — 31 Oktober 2009 @ 15.46

Balas

	Ismael di Segitiga-segitiga
	Hans di Persamaan Trigonometri
	ngelantur di 1000 bilangan komposit be…
	Loofee di Fungsi persamaan kuadrat dan j…
	saniar devi di Logaritma