Pertidaksamaan dua bilangan « Art of Mathematics

7 Februari 2008

Diarsipkan di bawah: Pertidaksamaan — Tag:pangkat, Pertidaksamaan, ruas, substitusi — Johan @ 7.38

[Harold Shapiro] Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real positif, dan $0<p<1$ , buktikan $(x+y)^p<x^p+y^p$ .

Solusi
Misalkan $x+y=a$ . Karena $x/a<1$ dan $p<1$ , maka

$\dfrac{x}{a}<\displaystyle\left(\dfrac{x}{a}\right)^p$ .

Dengan logika yang sama, maka didapat

$\dfrac{y}{a}<\displaystyle\left(\dfrac{y}{a}\right)^p$ .

Maka

$1=\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}<\displaystyle\left(\dfrac{x}{a}\right)^p+\displaystyle\left(\dfrac{y}{a}\right)^p$ .

Jadi

$1<\displaystyle\left(\dfrac{x}{a}\right)^p+\displaystyle\left(\dfrac{y}{a}\right)^p$ .

Kalikan kedua ruas dengan $a^p$ dan substitusikan $a=x+y$ . Maka

$(x+y)^p<x^p+y^p$ .

Belum ada komentar.

	ufi di Akar-akar kuadrat
	edy prabowo di Majalah Zer0
	Johan di Akar-akar kuadrat
	naning Tuban di Akar-akar kuadrat
	Johan di Polinomial