Barisan bilangan kuadrat

[Austrian-Polish] Misalkan adalah barisan bilangan kuadrat yang monoton naik. Selisih dari dua suku yang bersebelahan adalah suatu bilangan prima, atau suatu kuadrat bilangan prima. Contohnya , dengan selisih .

Buktikan bahwa memiliki suku yang terbatas dan tentukan barisan terpanjang yang mungkin.

Solusi
Misalkan dan adalah dua suku yang bersebelahan pada barisan . Maka, untuk suatu bilangan prima , atau . Dari sini didapat bahwa . Jadi, suku-suku pada barisan merupakan kuadrat dari bilangan-bilangan asli berurutan.

Misalkan terdapat dua bilangan berurutan dan , maka selisih kuadratnya adalah , sehingga merupakan bilangan kuadrat. Jadi selisih pada barisan semuanya merupakan bilangan ganjil yang berurutan (karena sukunya juga kuadrat bilangan berurutan).

Bilangan kelipatan 3 yang lebih besar dari 9 pasti bukan bilangan prima ataupun kuadrat dari bilangan prima. Maka untuk barisan yang suku-sukunya (sehingga selisihnya lebih dari 9), banyak sukunya tidak lebih dari 3. Karena jika lebih dari 3, terdapat selisih yang kelipatan 3, yang bukan bilangan prima maupun kuadrat bilangan prima (contohnya 64, 81, 100, 121, maka terdapat yang tidak memenuhi). Jadi banyak suku maksimum untuk suku-suku lebih dari atau sama dengan 25 adalah 3.

Barisan yang lebih dari 3 suku dapat ditemukan dengan menggabungkan suku yang kurang dari 25, yaitu , yang terdiri dari 7 suku. Ini sekaligus membuktikan banyaknya suku pada berhingga.