Fibonacci dalam barisan deret « Art of Mathematics

4 Februari 2008

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:barisan, deret, fibonacci — Johan @ 18.51

[The Problem Site] Bilangan Fibonacci didefinisikan $F_0=F_1=1$ dan $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ . Tentukan nilai dari deret

$\dfrac{F_0}{1}+\dfrac{3F_1}{5}+\dfrac{3^2F_2}{5^2}+\cdots+\dfrac{3^nF_n}{5^n}+\cdots$ .

Solusi
Misalkan

$A=\dfrac{F_0}{1}+\dfrac{3F_1}{5}+\dfrac{3^2F_2}{5^2}+\cdots+\dfrac{3^nF_n}{5^n}+\cdots$ .

Maka

$A=F_0+\dfrac{3}{5}F_1+\dfrac{3^2}{5^2}F_2+\dfrac{3^3}{5^3}F_3+\cdots$ ,

$A=F_0+\dfrac{3}{5}F_1+\dfrac{3^2}{5^2}(F_0+F_1)+\dfrac{3^3}{5^3}(F_1+F_2)+\cdots$

$A=1+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3^2}{5^2}F_0+\dfrac{3^2}{5^2}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_2+\cdots$

Misalkan

$B=1+\dfrac{3^2}{5^2}F_0+\dfrac{3^3}{5^3}F_1+\cdots$

dan

$C=\dfrac{3}{5}+\dfrac{3^2}{5^2}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_2+\cdots$ ,

sehingga $A=B+C$ .

Dapat dilihat bahwa $B=1+\dfrac{9}{25}A$ dan $C=\dfrac{3}{5}A$ .

Karena $A=B+C$ , maka

$B=A-C=A- \dfrac{3}{5}A=\dfrac{2}{5}A$ ,

sehingga

$\dfrac{2}{5}A=1+\dfrac{9}{25}A$ .

Jadi

$A=25$ .

Komentar (2)

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb