Art of Mathematics

4 Februari 2008

Deret aljabar

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , — Johan @ 18.54

[USAMO 1989] Misalkan

a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n},

b_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n,

c_n=\dfrac{b_1}{2}+\dfrac{b_2}{3}+\dfrac{b_3}{4}+\cdots+\dfrac{b_n}{n+1}.

Tentukan b_{1988} dan c_{1988} dalam a_{1989}.

Solusi
Perhatikan bahwa

b_{n-1}=1+\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{2}\right)+\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\displaystyle\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right).

Susun kembali menjadi

b_{n-1}=(n-1)+\dfrac{1}{2}(n-2)+\dfrac{1}{3}(n-3)+\cdots+\dfrac{1}{n}(n-n),

maka

b_{n-1}=n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{3}+\cdots+\dfrac{n}{n}-n=n\cdot a_n-n.

Maka, substitusikan n=1989 pada persamaan di atas,

b_{1988}=1989a_{1989}-1989

Dari persamaan di atas,

\dfrac{b_n}{n+1}=a_{n+1}-1.

c_{n-1}=(a_2-1)+(a_3-1)+(a_4-1)+\ldots+(a_n-1)=(a_2+a_3+\ldots+a_n)-(n-1)

c_{n-1}=b_n-n=(n+1)a_{n+1}-2n-1=(n+1)\displaystyle\left(a_n+\dfrac{1}{n+1}\right)-2n-1

c_{n-1}=(n+1)a_n-2n

Substitusikan n=1989, sehingga

c_{1988}=1989a_{1989}-3978

& Komentar »

  1. Salut untuk kreatif Anda dalam matematika. Saya alumni matematika dari ITS 1985, dan sampai sekarang suka utak-atik matematika. Terima kasih telah merefresh matematika saya.

    Komentar oleh petrusfs — 5 Februari 2008 @ 10.42

  2. Ketika substitusi n=1989, apakah yang dimaksud adalah b1989=1989.a1989-1989?

    Komentar oleh Richard — 21 Februari 2008 @ 8.05

  3. Ehm maksud saya b1988…

    Komentar oleh Richard — 21 Februari 2008 @ 8.05

  4. Benar, terima kasih. Sudah saya edit.

    Komentar oleh Johan — 21 Februari 2008 @ 10.58

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.