Art of Mathematics

3 Februari 2008

1415 titik sudut

Diarsipkan di bawah: Geometri, Kombinatorik — Tag:, , , , , , , , — Johan @ 22.24

[JBMO 2001] Anggaplah \text{N} adalah poligon konveks dengan 1415 titik sudut dan keliling 2001. Buktikan bahwa kita dapat menemukan tiga titik sudut yang membentuk segitiga dengan luas <1.

Solusi
Sisi terpanjangnya pasti memiliki panjang \ge\frac{2001}{1415}, maka total panjang 1414 sisi lainnya maksimum adalah

2001-\dfrac{2001}{1415}=\dfrac{2001\cdot1414}{1415}.

Bagilah 1414 sisi ini menjadi 707 pasang sisi yang bersebelahan. Maka terdapat pasangan sisi bersebelahan, \text{AB} dan \text{BC}, sehingga

\text{AB}+\text{BC}\le\dfrac{2001\cdot1414}{1415\cdot707}<2\sqrt{2}.

Misalkan luas \triangle\text{ABC} itu adalah S. Dengan rumus luas trigonometri dan AM-GM, didapat

\sqrt{S}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\sin B}\cdot\sqrt{\text{AB}\cdot\text{BC}},

\sqrt{S}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\text{AB}\cdot \text{BC}},

\sqrt{S}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\cdot(\text{AB}+\text{BC}),

\sqrt{S}<\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1.

Maka S<1.

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.