Persamaan kuadrat « Art of Mathematics

2 Februari 2008

Persamaan kuadrat

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:1989, akar, bilangan bulat, persamaan, persamaan kuadrat, rusia, solusi, substitusi — Johan @ 22.58

[Rusia 1989] Tentukan akar-akar dari persamaan $x^2+px+q=0$ , jika diketahui bahwa akar-akarnya adalah bilangan bulat dan $p+q=198$ .

Solusi
Perhatikan bahwa $p$ dan $q$ pasti bilangan bulat karena akar-akarnya adalah bilangan bulat. Substitusikan $q=198-p$ ke persamaan tadi, menjadi: $x^2+px+198-p=0$ .

Diskriminannya

$D=p^2-4(198-p)=p^2+4p-792$

adalah bilangan kuadrat. Maka misalkan $D=m^2$ , sehingga

$p^2+4p-792=m^2$ ,

atau

$(p+2)^2-m^2=796$ ,

dan

$(p+2-m)(p+2+m)=1\cdot796=2\cdot398=4\cdot199$

Jika $p+2-m=1$ dan $p+2+m=796$ , maka $p$ dan $m$ bukan bilangan bulat. Begitu pula jika $p+2-m=4$ dan $p+2+m=199$ .

Jadi $p+2-m=2$ dan $p+2+m=398$ , yang menyebabkan $p=198$ dan $m=198$ . Maka $q=0$ . Maka, persamaan itu adalah $p(x)=x^2+198x=x(x+198)$ , dan akar-akarnya adalah $x_1=0$ dan $x_2=-198$ .