Pembagian hasil penjualan sapi

[USSR Olympiad Problem Book] Dua orang kakak beradik memiliki sekumpulan sapi. Setiap sapi dijual seharga jumlah sapi itu dalam rupiah (contohnya, jika ada 5 sapi, maka setiap sapi dijual 5 rupiah). Kemudian mereka akan membagikan hasil penjualannya ini. Pertama-tama, kakaknya mengambil 10 rupiah, kemudian adiknya mengambil 10 rupiah, kemudian kakaknya mengambil 10 rupiah lagi, dan seterusnya. Akhirnya, pada giliran adiknya, yang tersisa kurang dari 10 rupiah. Maka si adik mengambil sisanya itu. Agar pembagiannya sama rata, kakaknya memberikan adik pisau lipat. Berapa harga pisau lipat itu?

Solusi
Misalkan terdapat sapi. Maka setiap sapi dijual seharga rupiah, sehingga mereka menerima rupiah. Misalkan , di mana adalah angka satuan dari dan adalah puluhannya. Sehingga total yang mereka dapat adalah

.

Dari cara pembagiannya, dan karena sang kakak mendapat giliran pertama dan terakhir untuk mengambil 10 rupiah, maka nilai puluhan dari adalah bilangan ganjil. Tetapi habis dibagi 20 sehingga memiliki puluhan sebanyak bilangan genap. Maka memiliki nilai puluhan bilangan ganjil. Nilai yang mungkin adalah 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Nilai yang memiliki puluhan sebanyak bilangan ganjil adalah 16 dan 36. Keduanya berakhiran dengan 6, yang berarti si adik menerima 6 rupiah pada giliran terakhir. Maka si kakak memiliki 4 rupiah lebih dari adik, sehingga ia harus memberikan 2 rupiah.

Maka harga pisau lipat adalah 2 rupiah.