Art of Mathematics

26 Januari 2008

Pertidaksamaan

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , — Johan @ 19.53

[Hungaria 1935] Jika x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n adalah barisan bilangan-bilangan real positif, dan y_1, y_2, y_3, \ldots, y_n adalah permutasi dari barisan itu, maka buktikan bahwa

\displaystyle\sum^n_{i=1}\dfrac{x_i}{y_i}\ge n.

Solusi
Dengan AM-GM, maka

\dfrac{\frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}+\frac{x_3}{y_3}+\cdots+\frac{x_n}{y_n}}{n}\ge \sqrt[n]{\dfrac{x_1}{y_1}\cdot\dfrac{x_2}{y_2}\cdot\dfrac{x_3}{y_3}\cdot\cdots\cdot\dfrac{x_n}{y_n}}.

Tetapi, ruas kiri =1, karena pembilang dan penyebut mengandung bilangan-bilangan yang sama. Maka kalikan pertidaksamaan dengan n, yang segera membuktikan pertidaksamaan itu.

2 Komentar »

  1. bukannya ruas kanan ya, yg =1 ??

    Komentar oleh drik — 17 Nopember 2008 @ 14.59

    Balas

  2. Yup. Ruas kanan yang 1..

    Komentar oleh Ivan Wangsa C.L. — 22 Nopember 2008 @ 23.37

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.