Art of Mathematics

22 Januari 2008

Pertidaksamaan pada sisi-sisi segitiga

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , — Johan @ 16.57

[IMO 1983] Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi pada segitiga, buktikan bahwa

a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0.

Solusi
Setiap sisi-sisi segitiga dapat ditulis sebagai a=y+z, b=z+x, dan c=x+y (bilangan itu dari hasil titik-titik singgung dengan lingkaran dalam), di mana a, b, c bilangan real positif. Ruas kiri pertidaksamaan pada soal dapat diubah menjadi

xy^3+yz^3+zx^3-xyz(x+y+z).

Dari pertidaksamaan Cauchy-Schwarz,

(xy^3+yz^3+zx^3)(z+x+y)\ge(\sqrt{xyz}(y+z+x))^2.

Setelah disederhanakan menjadi

xy^3+yz^3+zx^3-xyz(x+y+z)\ge0.

1 Komentar »

  1. waduh sulit banget ya pertidaksamaan cauchy ini.

    Komentar oleh Isnaini Zumaroh — 18 Maret 2009 @ 10.29

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.