Art of Mathematics

21 Januari 2008

Sistem persamaan banyak variabel

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , — Johan @ 19.18

[IMO 1979] Bilangan real non negatif x_1, x_2, x_3, x_4, dan x_5, memenuhi hubungan \displaystyle\sum^5_{i=1}ix_i=a, \displaystyle\sum^5_{i=1}i^3x_i=a^2, dan \displaystyle\sum^5_{i=1}i^5x_i=a^3. Berapakah nilai a yang mungkin?

Solusi
Kalikan persamaan pertama dengan a^2, kurangi dengan persamaan kedua dikali 2a, kemudian tambahkan dengan persamaan ketiga.

\displaystyle\sum^5_{i=1}(a^2i-2ai^3+i^5)x_i=0, atau \displaystyle\sum^5_{i=1}i(a-i^2)^2x_i=0.

Jadi, x_i=0 untuk i=1, \ldots, 5, atau a=i^2, yaitu a=1, 4, 9, 16, 25. Jika x_i=0, maka a=0. Maka solusi yang mungkin adalah {0}, 1, 4, 9, 16, 25.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.