Pertidaksamaan dengan bilangan segitiga

4 Januari 2008

[Polandia 2001] Untuk $x_i$ bilangan real positif, buktikan pertidaksamaan

$x_1+2x_2+3x_3+\ldots+nx_n\le\dfrac{n(n-1)}{2}+x_1+x_2^2+x_3^3+\ldots+x_n^n$ .

Solusi
Dengan AM-GM, kita dapat

$\dfrac{x_i^i+1+1+1+\ldots+1}{i}\ge\sqrt[i]{x_i^i\cdot1\cdot1\cdot1\cdot\ldots\cdot1}=x_i$ ,

(ada $i-1$ buah 1). Maka

$x_i^i+i-1\ge i\cdot x_i$ .

Substitusikan untuk $i=1, 2, 3, \ldots, n$ :

$x_1\ge x_1$

$x_2^2+1\ge2\cdot x_2$

$x_3^3+2\ge3\cdot x_3$

$x_4^4+3\ge4\cdot x_4$

$x_5^5+4\ge5\cdot x_5$

$\ldots$

$x_n^n+n-1\ge n\cdot x_n$

Jumlahkan semuanya sehingga didapat

$(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n)+(1+2+3+\ldots+(n-1))\ge x_1+2x_2+3x_3+\ldots+nx_n$ .

Tetapi $(1+2+3+\ldots+(n-1))=\dfrac{n(n-1)}{2}$ , sehingga pertidaksamaan terbukti.

Belum ada komentar.

	ufi di Akar-akar kuadrat
	edy prabowo di Majalah Zer0
	Johan di Akar-akar kuadrat
	naning Tuban di Akar-akar kuadrat
	Johan di Polinomial