Pertidaksamaan tiga bilangan dengan hasil kali 2

3 Januari 2008

Pertidaksamaan tiga bilangan dengan hasil kali 2

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:AM-GM, bilangan, hasil kali, Pertidaksamaan, positif, real, sederhana, substitusi — Johan @ 17.28

[olimpiade.org] $a$ , $b$ , dan $c$ adalah tiga bilangan real positif dengan hasil kali 2. Buktikan bahwa

$a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ .

Solusi
Perhatikan bahwa

$(x-y)^2(x+y)\ge0$ .

Maka

$x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0$ ,

atau

$x^3+y^3\ge xy(x+y)$ .

Sekarang,

$a^3+b^3+c^3=\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(a^3+\dfrac{b^3+c^3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(b^3+\dfrac{c^3+a^3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(c^3+\dfrac{a^3+b^3}{2}\right)$ .

Substitusikan pertidaksamaan tadi, sehingga

$a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(a^3+\dfrac{bc(b+c)}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(b^3+\dfrac{ca(c+a)}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\displaystyle\left(c^3+\dfrac{ab(a+b)}{2}\right)$ .

Dengan AM-GM, kita lanjutkan

$a^3+b^3+c^3\ge\sqrt{\dfrac{a^3bc(b+c)}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^3ca(c+a)}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^3ab(a+b)}{2}}$ .

Substitusikan nilai $abc=2$ , dan sederhanakan sehingga

$a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ .

Tinggalkan sebuah Komentar

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb

Art of Mathematics

3 Januari 2008

Pertidaksamaan tiga bilangan dengan hasil kali 2

No Comments Yet »

Tinggalkan komentar

Halaman

Soal Random

Beri Komentar

Komentar