Art of Mathematics

3 Januari 2008

Pertidaksamaan dua variabel

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , , — Johan @ 20.21

[Bambang Susianto] x dan y adalah bilangan positif yang kurang dari 1. Buktikan bahwa

\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{y^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\ge2\sqrt{2}

Solusi
Misalkan \text{ABCD} adalah persegi, dan \text{P} adalah suatu titik di dalamnya seperti berikut.

Perhatikan bahwa \text{APC} adalah segitiga atau garis lurus sehingga \text{AP}+\text{CP}\ge\text{AC}=\sqrt{2}, dan \text{BPD} juga adalah segitiga atau garis lurus sehingga \text{BP}+\text{DP}\ge\text{BD}=\sqrt{2}.

Maka,

\text{AP}+\text{BP}+\text{CP}+\text{DP}\ge2\sqrt{2},

sehingga

\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2}+\sqrt{x^2+(1-y)^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge2\sqrt{2}.

Ini dapat diubah menjadi

\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{y^2+(x-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\ge2\sqrt{2}. \blacksquare

1 Komentar »

  1. bagus – bagus

    Komentar oleh kosa — 5 September 2008 @ 14.54

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.