Barisan Ulang Tahun « Art of Mathematics

3 Januari 2008

Barisan Ulang Tahun

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:barisan, bioskop, gratis, orang, posisi, positif, probabilitas, tiket, ulang tahun — Johan @ 8.00

[wu :: forums] Di suatu bioskop, diberitahukan bahwa tiket gratis akan diberikan kepada orang pertama pada barisan itu yang memiliki tanggal lahir sama dengan seseorang yang sudah membeli tiket. Anda tidak mengetahui ulang tahun siapapun, dan ulang tahun mereka semua terdistribusi secara seragam dalam 365 hari. Di mana posisi dengan probabilitas terbesar untuk mendapat tiket? Berapa probabilitasnya?

Solusi
Probabilitas $p(n)$ bahwa Anda mendapat tiket gratis, jika Anda adalah orang ke- $n$ di barisan itu adalah:

(probabilitas $n-1$ orang di depan tidak memiliki ulang tahun yang sama) $\times$ (probabilitas Anda memiliki ulang tahun yang sama dengan satu dari $n-1$ orang pertama)

Maka

$p(n)=\displaystyle\left(1\times\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\ldots\times\dfrac{365-(n-2)}{365}\right)\times\displaystyle\left(\dfrac{n-1}{365}\right)$