Art of Mathematics

30 Desember 2007

Kotak-kotak pada papan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:, , , , , , — Johan @ 21.01

[Orisinil] Pada papan kotak-kotak n\times n, tentukan:
a) banyaknya persegi
b) banyaknya persegi panjang dan persegi

Solusi
a) Lihat secara satu dimensi, bagian 1\times n. Ada n persegi panjang berukuran 1\times 1, n-1 yang berukuran 1\times2, n-2 yang berukuran 1\times3, dan seterusnya. Maka terdapat n-k+1 yang berukuran 1\times k. Jadi banyaknya persegi k\times k adalah (n-k+1)(n-k+1)=(n-k+1)^2.

Banyaknya persegi pada papan n\times n adalah

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2=n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+\ldots+1^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

b) Banyaknya persegi panjang dan persegi dengan ukuran j\times k adalah (n-j+1)(n-k+1).

Banyaknya persegi panjang dan persegi adalah:

\displaystyle\left(\sum_{j=1}^{n}(n-j+1)\right)\times\left(\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)\right)=(n+(n-1)+\ldots+1)^2=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.