Art of Mathematics

28 Desember 2007

Persamaan Diophantine

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , — Johan @ 17.43

[MathLinks] Tentukan solusi bilangan asli untuk 7^x+x^4+47=y^2.

Solusi
Jika x adalah bilangan ganjil, dengan mudah dapat dilihat bahwa 7^x+x^4+47\equiv3\pmod4, sehingga tidak mungkin merupakan bilangan kuadrat.

Maka x adalah bilangan genap. Misalkan x=2n, dan asumsikan n\ge4. Saya akan buktikan bahwa (7^n)^2<7^{2n}+(2n)^4+47<(7^n+1)^2. Pertidaksamaan pertama dapat dibuktikan dengan trivial. Pertidaksamaan kedua akan saya buktikan dengan induksi. Setelah disederhanakan, pertidaksamaan itu menjadi

8n^4+23<7^n.

Dapat dilihat dengan mudah bahwa ini benar untuk n=4. Asumsikan 8k^4+23<7^k. Perhatikan bahwa

\displaystyle\left(1+\dfrac1k\right)^4<7.

Maka

\dfrac{(k+1)^4}{k^4}<7,

setelah disederhanakan menjadi

(k+1)^4<7k^4.

Maka, melanjutkan induksi tadi,

7^{k+1}>7\cdot8k^4+7\cdot23>8(k+1)^4+23.

Maka pertidaksamaan tadi terbukti, sehingga (7^n)^2<7^{2n}+(2n)^4+47<(7^n+1)^2. Jadi 7^{2n}+(2n)^4+47 bukan bilangan kuadrat, karena berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan.

Maka, kita tinggal cari solusi dari x=2n dan n<4.

Jika n=1, x=2, y^2=7^2+2^4+47=112, yang menyebabkan y bukan bilangan asli.

Jika n=2, x=4, y^2=7^4+4^4+47=52^2, yang memberikan solusi x=4, y=52.

Jika n=3, x=6, y^2=7^6+6^4+47=118992, yang menyebabkan y bukan bilangan asli.

Maka, satu-satunya solusi adalah x=4, y=52.

2 Komentar »

  1. tolong donk kirim ke e-mailq semua tentang persmaan diophantine

    Komentar oleh slamet waloyo — 15 Maret 2009 @ 10.58

    Balas

  2. slamet waloyo,
    Disarankan kepada Anda untuk membaca Elementary Number Theory karya David M. Burton.

    Komentar oleh OlimpiadeMatematika — 18 Maret 2009 @ 11.27

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.