Banyak angka pada 2 pangkat 100 « Art of Mathematics

25 Desember 2007

Banyak angka pada 2 pangkat 100

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:angka, banyak digit, digit, kecil, kurang, Matematika, olimpiade, pangkat, problem book, suku, Teori Bilangan, ussr — Johan @ 20.14

[The USSR Olympiad Problem Book] Berapa banyak angka pada $2^{100}$ setelah diuraikan?

Solusi
Perhatikan bahwa

$2^{100}=1024^{10}>1000^{10}=10^{30}$ .

Karena $10^{30}$ memiliki 31 angka, maka $2^{100}$ memiliki paling sedikit 31 angka.

Perhatikan bahwa

$\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}<\dfrac{1025^{10}}{1000^{10}}=\displaystyle\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}$ ,

atau

$\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}<\dfrac{41}{40}\cdot\dfrac{41}{40}\cdot\dfrac{41}{40}\cdots\dfrac{41}{40}$ .

Perhatikan bahwa $1+\dfrac{1}{40}<1+\dfrac{1}{39}<1+\dfrac{1}{38}<\cdots$ , sehingga

$\dfrac{41}{40}<\dfrac{40}{39}<\dfrac{39}{38}<\cdots$ .

Maka, persamaan tadi menjadi:

$\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}<\dfrac{41}{40}\cdot\dfrac{40}{39}\cdot\dfrac{39}{38}\cdots\dfrac{32}{31}$ ,

sederhanakan menjadi

$\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}<\dfrac{41}{31}<10$ .

Maka

$1024^{10}<10\cdot1000^{10}$ .

Ruas kanan merupakan bilangan 32 digit terkecil, sehingga $2^{100}=1024^{10}$ memiliki kurang dari 32 digit. Tetapi $2^{100}$ memiliki paling sedikit 31 digit. Maka $2^{100}$ memiliki 31 digit.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

	ufi di Akar-akar kuadrat
	edy prabowo di Majalah Zer0
	Johan di Akar-akar kuadrat
	naning Tuban di Akar-akar kuadrat
	Johan di Polinomial

Art of Mathematics

25 Desember 2007

Banyak angka pada 2 pangkat 100

Tidak ada Komentar »

Tinggalkan komentar

Majalah Zer0

Halaman

Kategori

Soal Random

Beri Komentar

Komentar