Pertidaksamaan « Art of Mathematics

5 Desember 2007

[Russian 2002] Jika $x$ , $y$ , $z$ adalah bilangan real positif dengan jumlah $3$ , buktikan bahwa

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+zx$ .

Solusi
Dari pertidaksamaan AM-GM,

$a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge3a$ .

Substitusikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ kemudian jumlahkan,

$x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\ge3x+3y+3z$ .

Substitusikan $3=x+y+z$ ,

$x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+2\sqrt{z}\ge(x+y+z)^2$

Sederhanakan,

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+zx$ .

Belum ada komentar.

	marvell di Fungsi hasil kali bilangan…
	roro di Sifat pada segitiga siku-siku …
	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About