Olimpiade Matematika

http://olimpiadematematika.wordpress.com/

Tiga terompet di bar

[Hendrata Dharmawan] Tiga pemain terompet berada di sebuah bar. Mereka datang di waktu yang mungkin berbeda-beda. Setiap peniup terompet main selama satu menit, kemudian istirahat selama beberapa menit. Satu kali main dan satu kali istirahat disebut satu periode. Misalkan periode pemain terompet pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah (dalam satuan menit). Jika diketahui bahwa semuanya adalah bilangan irasional, buktikan bahwa terdapat suatu saat di mana ketiga terompet berbunyi bersamaan.

Bentuk abbb

[Shortlist Olimpiade Amerika Tengah 2008] Tentukan semua bilangan kuadrat yang berbentuk abbb di mana a dan b menyatakan satu digit dan a>0.

Memotong persegi

[Tournament of Towns 1997 Musim Gugur 1997 Junior O Level] Kita ingin menggambar beberapa garis lurus di papan kotak-kotak sehingga setidaknya ada satu garis yang melewati bagian dalam setiap persegi kecil. Tentukan banyaknya garis paling sedikit yang diperlukan untuk papan (a) ; (b) .

Garis bagi di persegi

[Tournament of Towns 1997 Musim Gugur 1997 Junior O Level] Pada segiempat , adalah titik pada sisi dan garis bagi memotong di . Buktikan bahwa panjang sama dengan jumlah dari panjang dan .

Banyak solusi bulat

[Tournament of Towns Musim Gugur 1997 Junior O Level] Buktikan bahwa persamaan memiliki tak terhingga banyaknya solusi bilangan bulat .

Fungsi hasil kali bilangan prima

[MathLinks] Untuk bilangan asli , misalkan adalah hasil kali semua bilangan prima yang kurang dari . Selesaikan persamaan

.

Satu dari tiga sudut dalam segitiga tidak lebih dari 30

[IMO 1991] Misalkan adalah sebuah segitiga dan adalah titik di dalam . Buktikan bahwa setidaknya satu dari sudut-sudut kurang dari atau sama dengan .

Menutup lingkaran

[MathLinks] Buktikan bahwa sebuah lingkaran tidak dapat ditutup sepenuhnya oleh dua lingkaran yang lebih kecil.

Ketaksamaan USAMO 2004

[USAMO 2004] Buktikan untuk bilangan real positif bahwa

.