Art of Mathematics

3 Mei 2008

Persamaan dua variabel

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:Aljabar, bilangan kuadrat, bilangan real, dua variabel, persamaan, Pertidaksamaan, positif, variabel — Johan @ 14:38

[MathLinks] Selesaikan persamaan ${x}^{2}+20x+351=\dfrac{2008}{{y}^{2}+30y+233}$ dalam bilangan real.

Lihat Solusi

Komentar (0)

Eksponensial integral

Diarsipkan di bawah: Matematika Universitas — Tag:2008, competition, harvard, integral, kalkulus, kompetisi, Matematika, mathematics, mit, soal, solusi — Johan @ 8:08

[HMMT 2008] Jika $\displaystyle T = \int_0^{\ln2} \frac {2e^{3x} + e^{2x} - 1} {e^{3x} + e^{2x} - e^x + 1}dx$ , tentukan $e^T$ .

Lihat Solusi

Komentar (0)

2 Mei 2008

Pertidaksamaan

Diarsipkan di bawah: Pertidaksamaan — Tag:bilangan, Matematika, mathematical mayhem, Pertidaksamaan, soal, solusi — Johan @ 22:03

[Mathematical Mayhem 239] Jika $a,b,c>0$ , buktikan bahwa

$\dfrac1{a+b}+\dfrac1{b+c}+\dfrac1{c+a}\le\dfrac{(a+b+c)^2}{6abc}$ .

Lihat Solusi

Komentar (2)

29 April 2008

Kelipatan dengan angka 1 dan 0

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:angka, bukti, kelipatan, olympiad, Pigeonhole Principle, prinsip rumah burung, problem book, relatif prima, Teori Bilangan, ussr — Johan @ 21:12

[USSR Olympiad Problem Book] Buktikan bahwa setiap bilangan asli $N$ memiliki kelipatan yang hanya terdiri dari angka 1 dan 0. Jika $N$ relatif prima dengan 10, buktikan bahwa $N$ memiliki kelipatan yang hanya terdiri dari angka 1.

Lihat Solusi

Komentar (0)

Jumlah

Diarsipkan di bawah: Matematika Universitas — Tag:barisan, deret, Matematika, mathematics, reflection, series, universitas — Johan @ 19:13

[Mathematical Reflections 2006] Tentukan jumlah berikut $\displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}\frac{2k+1}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}$ .

Lihat Solusi

Komentar (0)

23 April 2008

Membagi bangun

Diarsipkan di bawah: Teka-Teki Logika — Tag:bagi, bangun, bentuk, dua, mathematics, mayhem, persegi, teka-teki, tiga — Johan @ 19:47

[Mayhem 288] Bangun berikut, di sebelah kiri, dapat dibagi dua dan disusun menjadi persegi, dengan pembagian seperti di sebelah kanan.

Tentukan suatu cara untuk membagi tiga bangun itu sehingga dapat disusun kembali menjadi persegi.

Lihat Solusi

Komentar (4)

21 April 2008

GMO Ineq

Diarsipkan di bawah: Pertidaksamaan — Tag:gmo, ineq, inequality, ivan wangsa, ketaksamaan, Pertidaksamaan, QM-AM — Johan @ 18:52

[Ivan Wangsa C.L.] Untuk $0<a,b<1$ , buktikan:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2-2a+1}+\sqrt{a^2+b^2-2b+1}+\sqrt{a^2+b^2-2a-2b+2}\geq 2\sqrt2$

Lihat Solusi

Komentar (2)

20 April 2008

Garis dividen segitiga

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:dividen, garis, Geometri, keliling, segitiga, sisi, substitusi, teorema ceva — Johan @ 12:40

[GMO - Olimpiade.org] Katakan sebuah garis dalam segitiga dividen apabila ditarik dari suatu sudut segitiga, dan membagi
segitiga menjadi dua bagian dengan keliling sama.
Buktikan ketiga dividen suatu segitiga selalu berpotongan di satu titik !

Lihat Solusi

Komentar (0)

Permainan bilangan empat sekawan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:akar, bilangan kompleks, biru, games, gelas, Matematika, merah, olimpiade, papan, permainan, persamaan, positif, sekawan, solusi, spidol, strategi, tutup — Johan @ 12:25

[GMO - Olimpiade.org] 4 buah bilangan kompleks $a$ , $b$ , $c$ , $d$ disebut 4 sekawan jika ada bilangan real positif $m$ , $n$ , dan $m<n$ sehingga $x^4+2mx^2+n^2=0$ memiliki solusi $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Ani dan Budi memainkan sebuah permainan sebagai berikut:
Berturut-turut setiap orang menuliskan satu buah bilangan kompleks di papan. Ani menulisnya dengan
spidol merah, dan Budi menulisnya dengan spidol biru.
Syarat bilangan kompleks $r$ yang boleh dipilih adalah :
a) $|r|<2008$
b) Untuk setiap bilangan kompleks $r'$ yang sudah dituliskan di papan, maka $|r-r'|>\frac{1}{2008}$ .

Jika pada suatu saat terdapat 4 sekawan berwarna merah, maka Ani menang. Sebaliknya, jika ada 4
sekawan yang berwarna biru, maka Budi menang. Jika tidak ada lagi bilangan kompleks yang dapat
dipilih lagi, maka pemain yang kehabisan langkah kalah.

Ani mendapat giliran pertama. Buktikan bahwa ada strategi supaya Ani menang!

Catatan : Untuk $r=a+bi$ maka $|r|=\sqrt{a^2+b^2}$